Mjera i integral/Lebesgueova mjera/Konstrukcija Lebesgueove mjere

Definicija $\sigma$-algebre te izmjerljivog prostora i izmjerljivog skupa

Neka je ${\mathcal {F}}$ $\sigma$-prsten na skupu $X$. Ako $X\in {\mathcal {F}}$, tada ${\mathcal {F}}$ je "$\sigma$-algebra na $X$", $(X,{\mathcal {F}})$ je "izmjerljiv prostor", a svaki $A\in {\mathcal {F}}$ "izmjerljiv skup".

Nužni i dovoljni uvjeti za $\sigma$-algebre

Neka je $X$ skup, a ${\mathcal {F}}$ familija podskupova od $X$. ${\mathcal {F}}$ je $\sigma$-algebra na $X$, ako

1. $\emptyset \in {\mathcal {F}}$ &
2. $(\forall A\in {\mathcal {F}})\;A^{\complement }\in {\mathcal {F}}$ &
3. $(\forall {(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq {\mathcal {F}})\;\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }^{+\infty }A_{n}\in {\mathcal {F}}$.

Definicija familija poluotvorenih pravokutnika

Definiramo sljedeće familije:

1. ${\mathcal {P}}^{1}:=\left\{\langle a,b]\mid -\infty <a\leq b<+\infty \right\}$ je "familija poluotvorenih intervala u $\mathbb {R}$" &
2. ${\mathcal {P}}^{d}:=\left\{\displaystyle \prod _{i=1}^{d}\langle a_{i},b_{i}]\mid (\forall i\in \{1,\dots ,d\})-\infty <a_{i}\leq b_{i}<+\infty \right\}$ je "familija poluotvorenih pravokutnika u $\mathbb {R} ^{d}$", $\forall d\in \mathbb {N}$.