Mjera i integral/Lebesgueova mjera/Konstrukcija Lebesgueove mjere

Definicija $\sigma$-algebre te izmjerljivog prostora i izmjerljivog skupa

Neka je $ℱ$ $\sigma$-prsten na skupu $X$. Ako $X\in ℱ$, tada $ℱ$ je "$\sigma$-algebra na $X$", $(X,ℱ)$ je "izmjerljiv prostor", a svaki $A\in ℱ$ "izmjerljiv skup".

Nužni i dovoljni uvjeti za $\sigma$-algebre

Neka je $X$ skup, a $ℱ$ familija podskupova od $X$. $ℱ$ je $\sigma$-algebra na $X$, ako

1. $\mathrm{\varnothing }\in ℱ$ &
2. $(\mathrm{\forall }A\in ℱ)A^{\complement }\in ℱ$ &
3. $(\mathrm{\forall }{(A_n)}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq ℱ)\bigcup _{n\in \mathbb{N}}^{+\mathrm{\infty }}{A}_n\in ℱ$.

Definicija familija poluotvorenih pravokutnika

Definiramo sljedeće familije:

1. ${𝒫}^1:=\{⟨a,b]\mid -\mathrm{\infty }<a\le b<+\mathrm{\infty }\}$ je "familija poluotvorenih intervala u $ℝ$" &
2. ${𝒫}^d:=\{\prod _{i=1}^d⟨a_i,b_i]\mid (\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,d\})-\mathrm{\infty }<a_i\le b_i<+\mathrm{\infty }\}$ je "familija poluotvorenih pravokutnika u ${ℝ}^d$", $\mathrm{\forall }d\in \mathbb{N}$.